Δειγματοληψία σήματος

Σχεδιάγραμμα δειγματοληψίας σήματος. Το συνεχές σήμα αναπαριστάται από την πράσινη γραμμή ενώ τα διακριτά δείγματα (αποτέλεσμα δειγματοληψίας) με το μπλε χρώμα.

Στην επιστήμη της επεξεργασίας σήματος, δειγματοληψία (αγγλ.: sampling) είναι η μετατροπή ενός συνεχούς σήματος σε διακριτό. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα δειγματοληψίας είναι η μετατροπή ενός ηχητικού σήματος (συνεχές σήμα) σε μια σειρά από δείγματα (που ονομάζεται σήμα διακριτού χρόνου).

Το δείγμα συνήθως αναφέρεται σε μια τιμή του συνεχούς σήματος σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Ο δειγματολήπτης είναι ένα σύστημα το οποίο εξάγει δείγματα (σε ίσα χρονικά διαστήματα) από ένα συνεχές σήμα. Ένας θεωρητικός ιδανικός δειγματολήπτης δημιουργεί δείγματα τα οποία αντιστοιχούν στην στιγμιαία τιμή του συνεχούς σήματος στα επιθυμητά χρονικά σημεία.

Θεωρία

Η δειγματοληψία αναφέρεται σε σήματα τα οποία μεταβάλλονται χρονικά. Εδώ θα αναφερθούμε στην δειγματοληψία σημάτων που μεταβάλλονται σε μια διάσταση (π.χ. ήχος), αλλά η δειγματοληψία μπορεί να γίνει και σε σήματα πολλών διαστάσεων (π.χ. εικόνες).

Παράδειγμα δειγματοληψίας ενός ημιτόνου. Η δειγματοληψία έγινε σε κάθε 0,001 δευτερόλεπτο. Η συχνότητα δειγματοληψίας είναι $f_{s}={\frac {1}{0,001}}=1000Hz$.

Έστω $x_{c}(t)$ ένα συνεχές (c είναι το αρχικό της αγγλικής λέξης continuous - συνεχές), μονοδιάστατο σήμα στο οποίο θα γίνει δειγματοληψία. Η δειγματοληψία θα γίνει παίρνοντας δείγματα του σήματος (τιμή της συνάρτησης) ανά σταθερές χρονικές στιγμές, δηλαδή κάθε $T$ δευτερόλεπτα. $T$ ονομάζεται η περίοδος δειγματοληψίας του σήματος. Το σήμα $x[n]$ στο οποίο έγινε η δειγματοληψία δίνεται από το τύπο:

$\,\!x[n]=x_{c}(nT)$, με $\,\!n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots$

Συχνότητα δειγματοληψίας

Η συχνότητα δειγματοληψίας ή ρυθμός δειγματοληψίας μετριέται στην μονάδα μέτρησης Χερτζ ($H_{z}$) και μας δείχνει πόσα δείγματα έχουν ληφθεί από τον δειγματολήπτη σε διάρκεια ενός δευτερολέπτου.

Εάν η συχνότητα δειγματοληψίας $f_{s}$ (ο συμβολισμός $f_{s}$ προκύπτει από τα αρχικά sampling frequency - συχνότητα δειγματοληψίας) $1000H_{z}$, σημαίνει ότι ο δειγματολήπτης δημιουργεί 1000 δείγματα σε κάθε δευτερόλεπτο σήματος. Η χρονική απόσταση των δειγμάτων υπολογίζεται από τον τύπο $f_{s}={\frac {1}{T}}$ (το T είναι η περίοδος δειγματοληψίας) και για συχνότητα δειγματοληψίας $1000H_{z}$ έχουμε $T={\frac {1}{f_{s}}}={\frac {1}{1000}}=0,001sec$.

Θεώρημα δειγματοληψίας Nyquist-Shannon

Έστω $x_{c}(t)$ ένα συνεχές σήμα περιορισμένου εύρους: $X_{c}(j\Omega )=0$ για $|\Omega |\leq \Omega _{N}$.

$\Omega ={\frac {2\pi }{T}}$ είναι η έκφραση της συχνότητας σε ακτίνια/sec.

Τότε το σήμα $x_{c}(t)$ ορίζεται και μπορεί να ανακατασκευαστεί από τα δείγματά του $x[x]=x_{c}(nT),n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ εάν $\Omega _{s}={\frac {2\pi }{T}}\geq 2\Omega _{N}$ ή $f_{s}\geq 2f_{N}$.

— Μαθηματικός φορμαλισμός θεωρήματος δειγματοληψίας Nyquist-Shannon

Ένα βασικό ερώτημα που αφορά στη δειγματοληψία είναι: Κάτω από ποιες συνθήκες μπορούμε να ανακατασκευάσουμε (πλήρως) το δειγματοληπτημένο σήμα; Μέρος της απάντησης αυτής δίνεται από το θεώρημα Nyquist-Shannon. Το θεώρημα δειγματοληψίας εγγυάται ότι σήματα περιορισμένου φάσματος (π.χ. σήματα τα οποία στο πεδίο συχνοτήτων έχουν τιμές μέχρι μια μέγιστη συχνότητα) μπορούν να ανακατασκευαστούν πλήρως από την δειγματοληπτημένη μορφή τους εάν η συχνότητα δειγματοληψίας είναι μεγαλύτερη ή ίση από το διπλάσιο της μέγιστης συχνότητάς τους.

Η πλήρης ανακατασκευή των διακριτών σημάτων που έχουν δειγματοληφθεί σύμφωνα με το θεώρημα Nyquist-Shannon είναι εφικτό με την συνάρτηση παρεμβολής Whittaker–Shannon .

Εφαρμογές

• Μετατροπή αναλογικού σήματος ήχου σε ψηφιακό. Ο ήχος είναι συνεχές σήμα (πυκνώματα και αραιώματα του αέρα) και με το μικρόφωνο μετατρέπεται σε ηλεκτρική ένταση ρεύματος. Ο δειγματολήπτης μετατρέπει το σήμα σε διακριτό και στην συνέχεια ένας κβαντιστής μετατρέπει τις τιμές του διακριτού σήματος σε ψηφιακές (κάνοντας κβαντισμό - στρογγυλοποίηση). Η δειγματοληψία που χρησιμοποιείται για την δημιουργία ενός μουσικού CD είναι 44.100 Hz, δηλαδή η δειγματοληψία γίνεται κάθε 23 μs (microseconds):

$T={\frac {1}{f_{s}}}={\frac {1}{44.100}}\simeq 23\mu s$.